1.

И Сахара, и черное море употребляются с артиклем the, а вот озеру он не нужен.

2.

Париж и Бродвей - "суша" в нашей классификации, идут без артикля. А вот Багамских островов - много, им нужно поставить the.

3.

the Far East - c артиклем, остальное - без. Еще бы: оно же просто определение перед именем собственным, зачем ему артикль?

4.

Озера не употребляются с артиклем.

5.

Все действие происходит фактически в одном месте, но как по-разному: есть "республика" - есть артикль, нет - это просто Конго и его столица

6.

Горе артикль не нужен, даже если ее название состоит не из одного слова: это просто эпитеты, а гора была и есть одна.

7.

Центр - всегда один, а когда он еще и главное слово в словосочетании, он никак не может быть без артикля. Больше про то, как работать с артиклями - в уроке.

8.

Вальс в голове заиграл? Значит, все правильно. А что до артиклей, то голубой Дунай или какой-то другой, ему, в отличие от Вены, всегда нужен артикль.

9.

Альпы - хоть какие - горная гряда, их "много", в официальном названии страны есть слово-триггер, и ее тоже становится "много", а вот просто Швейцария - без артикля.

10. .

Да, финальный вопрос - с изюминкой. Если вы считаете себя морем, и язык с вами согласен - вы официально не озеро. Даже если вы озеро. Есть о чем задуматься в плане личностного роста ;)